平面的方程：如何使？ 类型平面方程

的平面的空间可以以不同的方式（一个点和向量，向量和的两个点，三个点，等等）来定义。 正是考虑到这一点，平面方程可以有不同的类型。 也在一定条件下平面可以是平行的，垂直的，交叉的，等 在此，将在这篇文章中谈。 我们将学习制作飞机，不仅是一般方程。

方程的正常形态

假定R为空间_3，其中有一个直角坐标系XYZ。 我们定义一个矢量α，这将从起点O.被释放通过矢量α的端绘制平面P垂直于它。

在任意的点Q =（X，Y，Z）表示P上。 点Q标志字母P的矢径。 向量的长度等于αP =IαI和Ʋ=（cosα，cosβ，cosγ）。

这个单位矢量，其被定向在方向矢量α。 α，β和γ - 是将载体和正方向之间形成的角度Ʋ空间轴x，y，分别沿Z。 上矢量QεPƲ的点的投影是一个常数，它等于p（P，Ʋ）= P（r≥0）。

上面的等式是有意义当p = 0。 在这种情况下，n只有平面，将交叉点O（α= 0），这是原点，单位矢量Ʋ，从点O发布将垂直于P，虽然其方向，这意味着所述载体Ʋ确定达迹象。 上一页方程是我们的飞机P，表达载体形式。 但鉴于其坐标是：

P是大于或等于0。我们已发现在正常形式的平面方程。

一般方程

如果坐标方程的任意数目的不等于零繁衍，我们得到相当于这个公式定义很平面。 这将有以下形式：

这里，A，B，C - 是同时不同于零的数目。 这个公式被称为平面的一般形式的方程。

平面的方程。 特殊情况

等式通常可以用另外的条件进行修改。 考虑其中的一些。

假设该系数A为0。这表明，平行于预定轴Ox的平面。 在这种情况下，方程式的形式变化：吴+锆+ D = 0。

同样地，方程的形式，并且将与以下条件而变化：

• 首先，如果B = 0时，方程变为斧+锆+ D = 0，这将指示的平行于轴线Oy公司。
• 其次，如果C = 0时，方程被变换成AX + + D = 0，即绕平行于预定轴线盎司。
• 第三，如果D = 0时，方程将显示为AX + +锆= 0，这将意味着该平面相交O（原点）。
• 第四，如果A = B = 0时，方程变为锆石+ D = 0，这将证明并行性氧。
• 第五，如果B = C = 0时，等式变成AX + D = 0，这意味着该平面平行于OYZ。
• 第六，如果A = C = 0时，方程采用以下形式吴+ D = 0，即，将这种平行OXZ报告。

在段中的方程的形式

在的情况下数A，B，C，D不同于零，方程的形式（0）可以为如下：

X / A + Y / B + Z / C = 1，

其中a = -D / A，B = -D / B，C = -D / C.

我们收到了飞机的碎片结果方程。 应当指出的是，该平面将与在坐标（a，0,0），OY点相交的x轴 - （0，B，0），和盎司 - （0,0，S）。

鉴于方程x / A + Y / B + Z / C = 1，就不难相对于放置平面可视化到预定的坐标系。

法线向量的坐标

法线向量n的平面P具有是平面的一般方程，即n（A，B，C）的系数坐标。

为了确定正常n的坐标，就足以知道定平面的一般方程。

当使用在节段的方程，其具有形如x / A + Y / B + Z / C = 1，作为使用一般方程时可以写任何法线向量的坐标给定平面：（1 / A + 1 / B + 1 / C）。

应当指出的是，帮助的法向量解决各种问题。 最常见的问题是由在证明垂直或平行的平面，求出平面或平面和直线之间的角度之间的角度的任务。

根据点法线矢量的平面方程和坐标输入

一个非零向量n垂直于给定平面，称为正常（正常）到预定的平面上。

假设在坐标空间（直角坐标系）OXYZ设置：

• Mₒ点坐标为（hₒ，uₒ，zₒ）;
• 零矢量n = A * 1 + B * J + C *ķ。

你需要通过Mₒ点垂直于法线n的平面上的方程。

在空间，我们选择任意点和表示M（X，Y，Z）。 让每个点M（X，Y，Z）的半径矢量将是R = X * I + Y * J + Z * k和a点Mₒ的半径矢量（hₒ，uₒ，zₒ） - rₒ=hₒ* 1 +uₒ * J +zₒ* k个。 点M将属于给定平面，如果矢量MₒM垂直于向量n。 我们写使用标产品的正交性条件：

[MₒM中，n] = 0。

由于MₒM= R-rₒ，平面的向量方程将看起来像这样：

[R - rₒ中，n] = 0。

这个公式也可以有另一种形状。 为了这个目的，该标量积的属性，并转换等式的左侧。 [R - rₒ，N] = [R，N] - [rₒ，N]。 如果[rₒ，N]表示为s，我们得到下面的等式：[R，N] - α= 0或[R，N] = s，这表示在属于平面上的给定的点的半径矢量的法线矢量的突起的恒定性。

现在可以得到的坐标型记录平面我们的向量方程[R - rₒ中，n] = 0。由于R-rₒ=（X-hₒ）* I +（Y-uₒ）* J +（Z-zₒ）* k，以及N = A * 1 + B * J + C * K，我们有：

事实证明，我们有方程形成平面通过点垂直于法线n：

A *（Xhₒ）+ B *（Yuₒ）S *（Z-zₒ）= 0。

根据平面方程和的矢量平面共线的两个点的坐标输入

我们定义两个任意点M '（X'，Y 'Z'）和M “（X”，Y”，Z “），以及载体（A”，A”，一个'''）。

现在，我们可以写出方程预定平面穿过现有点M“和M”，并且与坐标M（X，Y，Z）平行于给定矢量中的每个点。

因此M'M向量x = {X 'Y-Y'; ZZ '}和M “M = {X” -x'，Y 'Y'; Z“-z“}应该是共面的与所述载体α=（A”，A “一个'''），这意味着（M'M M” 男，A）= 0。

因此，我们在一个空间平面的方程如下所示：

平面方程的类型，穿越三点

比方说，我们有三点：（X 'Y'，Z '），（X'，Y 'Z'），（X''''''有无，Z'''），它不属于同一行。 有必要写通过指定的三个点的平面方程。 几何理论认为，这种飞机确实存在，它只是一个也是唯一。 由于该平面相交的点（X“ Y”，Z“），它的等式形式将是：

在这里，A，B，和C是在同一时间从不同的零。 也给定平面相交两个点（X “Y”，Z“）和（x'''，Y'''，Z'''）。 在这方面，应该进行这样的条件：

现在，我们可以创建一个统一的系统 方程（线性）的 未知数U，V，W：

在我们的情况下的x，y或z表示满足等式（1）任意点。 考虑公式（1）和等式（2）和（3）如上述图中所示的方程的系统的系统，所述载体满足N（A，B，C），这是平凡的。 这是因为系统的行列式为零。

式（1），我们已经有了，这就是平面的方程。 3点她真的去，而且很容易检查。 要做到这一点，我们在第一行中的元素扩大的决定因素。 的现有属性行列式如下，我们的平面相交同时三个原本预定点（X 'Y'，Z“），（X “Y”，Z“），（X'''，Y'''，Z'''）。 因此，我们决定在我们面前的任务。

在平面之间二面角

二面角是由从一个直线发出两个半平面所形成的空间的几何形状。 换句话说，其被限定于半平面的空间的一部分。

假设我们有两个平面与下面的公式：

我们知道，矢量N =（A，B，C），并根据预定的平面-N'=（A'，H'，S 1）是垂直的。 在这方面，φ矢量N和-N'相等的角度（二面角），其位于这些平面之间的夹角。 标积计算公式如下：

NN¹= | N || -N'| cosφ值，

正是因为

COSφ=NN¹/ | N || -N'| =（AA¹+VV¹SS¹+）/（（√（A²+秒²+V²））*（√（A'）2 +（H'）2 +（S 1）2））。

这足以考虑0≤φ≤π。

实际上两个平面相交，形成两个角（二面角_）：φ1和_φ2。 它们的总和等于_{π（φ1 +φ2} =π）。 至于他们余弦，其绝对值是相等的，但它们是不同的标志，即_，COSφ1 = _-cosφ2。 如果式（0）由A，B和-A，-B的C和-C分别方程取代，我们得到，将确定在同一平面，唯一的角φ等式COSφ= NN ¹ / | ñ|| N + ¹ | 它将由π-φ所取代。

垂直平面的方程

垂直平面调用，这之间的角度为90度。 使用上面介绍的材料，我们可以发现一个平面方程与垂直于另一方。 假设我们有两个平面：AX + +锆+ D = 0，+A¹hV¹uS¹z+ + D = 0。 我们可以说，他们是正交的，如果COS = 0。 这意味着，NN¹=AA¹+VV¹SS¹+ = 0。

的平行平面的方程

它提到包含在共同没有点的两个平行的平面。

的条件的平行平面 （它们的方程式是一样的，在前面的段落）是向量N和-N'，其是垂直于它们，共线的。 这意味着，满足以下条件的比例：

A / A'= B / C = H'/ S 1。

如果比例术语扩展 - A / A'= B / C = H'/ S 1 =DD¹，

这表明相同的数据平面。 这意味着，方程AX + +锆+ D = 0和+A¹hV¹uS¹z+ + D'= 0描述一个平面上。

由点到面的距离

假设我们有一个平面P，这是（0）给出。 有必要找到该点的距离与坐标（hₒ，uₒ，zₒ）=Qₒ。 ，你需要把公式中的平面II正常外观，使其：

（Ρ，V）= P（r≥0）。

在这种情况下，ρ（X，Y，Z）是我们的点Q，位于N p个的半径矢量 - n是垂直，将其从零点释放的长度，V - 是单位矢量，其布置在一个方向。

点Q =（X，Y，Z）的差ρ-ρº半径矢量，属于n和Q ₀ =（hₒ，uₒ，zₒ）是这样的载体，所述凸部的绝对值的上的给定点的半径矢量v等于距离d，这是必要自Q找到= _{0（hₒ，uₒ，zₒ）}至P：

D = ^{|（ρ-ρ0，V）|，}但

^{（ρ-ρ0，V）=（ρ，V} ） - （ρ ^{0，V）= P（ρ0，v）}中。

因此，原来，

D = ^{|（ρ0，v）}的P |。

现在很明显，从₀计算的距离d，来Q平面P，它是必要的，使用普通的视平面方程，移位至p的左侧，并且x，y的最后一个地方，Z的替代（hₒ，uₒ，zₒ）。

因此，我们发现，需要d中的所得表达的绝对值。

使用语言的参数，我们得到了很明显的：

D = |AhₒVuₒ+ +Czₒ| /√（A²+V²+秒²）。

如果指定的点Q ₀是在平面P为原点的另一侧，则矢量之间^ρ-ρ0和v是 钝角， 从而：

D = - ^{（ρ-ρ0，V）=（ρ0，V）-p>} 0。

在当在与位于U的同一侧的起源结合点Q _0，创建锐角的情况下，即：

D ^{=（ρ-ρ0，V）=} P - ^{（ρ0，V）>} 0。

其结果是，在前者的情况下^{（ρ0，V）>} P，在第二^{（ρ0，V）}

而它的切平面方程

关于平面表面在切Mº的点 - 包含所有可能的切线通过表面上的点绘制的曲线的平面。

与方程F（X，Y，Z）= 0的切平面切点Mº的式（hº，uº，zº）将是该表面形式：

_{˚FX（hº，uº，zº）（hºX）+} F _{X（hº，uº，zº）（uºY）+} F _{X（hº，uº，zº）（Z-zº）} = 0。

如果表面被设置显式Z = F（X，Y），然后切平面由下式描述：

Z-zº= F（hº，uº）（hºX）+ F（hº，uº）（Yuº）。

两个平面的交叉点

在三维空间中是给定的两个平面P“和P”重叠和不重合的坐标系统（矩形）OXYZ，。 由于任何平面，该平面是在直角坐标系由一般式定义，我们假设是n + B X'+ Y““A = 0和和n是由式A'x + V'u S'z + + D”定义“以 “Z + D”= 0。 在这种情况下，我们有平面P '与法线n “（A”，B “C”）的平面P的' 的法线n '（A'，B 'C'）。 由于我们的平面不平行，不相吻合，那么这些向量不共线。 使用数学语言，我们有这个条件可以写为：n '≠n “个↔（A'，B 'C'）≠（λ*而”，λ*在 “λ* C”），λεR。 让其位于在交点P上的直线“和P”，将由字母A来表示，在这种情况下为= P”∩P“。

和 - 一个线由多个点（共同）面P“和P”的。 这意味着，属于该行的任何一个点的坐标，必须同时满足等式A'x + V'u S'z + + D '= 0和A“X + B' + C Y“Z + D”= 0。 这意味着点的坐标将是以下等式的特定的解决方案：

其结果是，该方程组的溶液（总）将确定在哪个将作为交叉点P“和P”的点的线中的每个点的坐标，并确定坐标系OXYZ（矩形的）空间中的线。