傅立叶变换。 快速傅立叶变换。 离散傅立叶变换

傅立叶变换 - 转型，关联真实变量的某些功能。 执行此操作时，每次我们感知不同的声音的时间。 耳生产自动“计算”，其中只有高等数学部分的考试后履行我们能意识。 在人类改造听觉器官构建体，其中所述的声音（在弹性介质中的颗粒，这在固体，液体或气体介质中传播波形式的常规振动运动）的范围内变化的高度的音调的音量电平的连续值的设置。 在此之后，脑子转的信息到所有熟悉的声音。

数学傅里叶变换

声波或其它振动方法的转化率（由发光和海洋潮汐和恒星或太阳周期）可以被执行，并且通过数学方法的装置。 因此，使用这些技术，可以将这些功能通过将设置的正弦分量，即波浪的曲线，其从最小值到最大值，然后再次在最低限度，如海的波的振动过程扩大。 傅立叶变换 - 其描述了对应于特定频率的每个正弦曲线的相位或幅度的转换功能。 第一阶段是曲线，且幅度的起点 - 它的高度。

傅立叶变换（实例示于照片）是一个非常强大的工具，其在科学的各种领域中使用。 在某些情况下，它被用来作为一种解决方案相当复杂的等式，其描述的光，热或电能的作用下发生的动态过程。 在其他情况下，它可以让你在复杂的波形定义规则分量，因为这可能是真正的解释在化学，医学和天文学各种实验观察。

历史信息

应用此方法的第一个人是法国数学家汉·巴蒂斯特·弗。 转换，随后他的名字命名，原本是用来形容热传导机制。 傅立叶从事留学热的性质他的整个成年生活。 他做了代数方程的根的确定的数学理论做出了巨大贡献。 傅立叶是在理工学院，埃及学研究所秘书分析的教授，是帝国的服务，在建设路都灵时间引起轰动（在他的领导下倒掉超过80000平方公里疟疾沼泽）。 然而，这一切的行动并没有停止从事数学分析的科学家。 在1802年它被衍生，描述的热在固体中传播的方程。 1807年，科学家发现了解决这个方程，它被称为“傅立叶变换”的方法。

热传导分析

研究人员用数学方法来描述的热传导机制。 一个方便的例子，其中，在计算无困难是热能的传播由铁环，一个部分浸在火灾。 为了进行实验傅立叶环的红热的一部分，并把他埋在细沙。 此后，将温度测量在其相对部分进行。 最初，热分布是不规则的：该环的一部分 - 冷，另 - 热，所述区之间可以观察到急剧的温度梯度。 然而，跨越金属表面的热分布期间，它变得更加均匀。 于是，很快，这个过程需要一个正弦波形式。 第一曲线逐渐增加，也减小顺利，余弦或正弦函数的变动的准确的法律。 波逐渐均衡，结果温度变环的整个表面上是均匀的。

这种方法的作者假设初始分布是相当不规则的可以分解成若干基本正弦波。 他们每个人都会有其相位（初始位置）和它的最高温度。 因此，从最小值到最大值和背面每一个这样的部件的变化，完成革命围绕环的整数倍。 具有周期将其称为基本谐波，并且与两个或更多个周期的值部件 - 所述第二等等。 例如，描述的最高温度的数学函数，相位或位置称为傅立叶变换分布函数的。 科学家带来了一个单一的组件，是很难的数学描述，易于使用的工具 - 正弦和余弦的行，在给予初次分配的金额。

分析的本质

应用此分析的固体对象上的热分布的转化，具有环形形状，数学家的理由是，正弦分量的增加周期导致其快速阻尼。 这是清楚地看到在主及第二谐波。 最终温度在单次到达最大值和最小值的两倍，并在第一 - 只有一次。 事实证明，通过加热在第二谐波行进的距离是一半的芯。 此外，第二个一半的梯度也将是大于第一陡峭。 因此，由于更激烈热磁通通过寡妇最小距离，则这将被衰减谐波比主快四倍，作为时间的函数。 在下面的过程会更快。 数学家认为，这种方法使我们能够计算温度随时间的初始分布的过程。

同时代电话

傅立叶变换算法已经成为数学在当时的理论基础提出了挑战。 在十九世纪初，最突出的科学家，包括拉格朗日，拉普拉斯，泊松，勒让德和比奥没有接受他的说法，在初次分配中的温度在基波和更高频率的形式分解成组件。 然而，科学院不能忽视得到数学家的成果，并授予他的法律热传导理论奖，同时还开展了与物理实验进行比较。 在傅立叶方法中，主要反对意见是，不连续的功能是由几个正弦函数，其是连续的和所表示的事实。 毕竟，他们所描述的直爆破和曲线。 当代科学家从未遇到这样的情况，当由连续，如方形，线性，正弦或参展商的组合所描述的不连续函数。 倘若一个数学家是正确的断言他，无穷级数的三角函数的总和应仅限于精确的速度。 虽然这种说法似乎是荒谬的。 然而，尽管有一些研究者（如克劳德·纳维，索菲Zhermen）的疑虑扩大了研究范围，并给他们带来了热量分布的分析。 甲数学，同时，继续遭受的若干正弦函数的总和是否被减小到破裂的确切表示的问题。

200年的历史

这一理论已经发展了两个世纪，今天终于形成。 用的空间或时间函数的帮助下被分解成具有一个频率，相位和幅度的正弦分量。 这种转换是由两个不同的数学方法获得的。 第一它们在的情况下使用时的源是一个连续函数，所述第二 - 在它是由多个离散的单独变化表示的情况下。 上述基本从最低，然后两倍，三倍等等 - 如果该表达式被从值，这是在不连续的间隔定义的获得时，其可分为几个离散正弦频率的表达式。 此金额称为 傅里叶级数。 如果初始表达式设置每个实数的值，它可以被分解成多个正弦所有可能的频率。 它被称为傅里叶积分，并决定意味着整体功能的转变。 不管用于获得变换，针对每个频率应指明两个数字的方法的：幅度和频率。 这些值表示为一个 复数。 表达复杂的变量理论与傅立叶变换一起进行计算允许各种电气电路的设计，机械振动的分析，波的传播机构和另一研究。

傅立叶变换的今天

如今，这个过程的研究基本上可以归结为寻找从功能的转变有效的方法将其转换回在脑海中。 该解决方案被称为直接和傅立叶逆变换。 这是什么意思？ 为了 确定积分 并进行直接傅里叶变换，可以用数学的方法，但你可以分析。 尽管当他们在实践中使用有一定的难度，大多数的积分已经被发现在数学手册输入。 用数值方法的帮助下，可以计算表达式，其形状是基于实验数据，一函数，其在表中的积分丢失，并且它们难以以解析形式想象的。

计算机工程计算的出现，这种转变已经很乏味之前，他们需要大量运算的依赖描述的波函数点的数量的手动执行。 为了方便结算的今天，有特殊的程序，允许实施新的 分析方法。 因此，在1965年，Dzheyms库里和Dzhon Tyuki创建了后来被称为“快速傅里叶变换”的软件。 它通过减少在该曲线的分析乘法的数量节省了计算时间。 “快速傅立叶变换”的方法是基于将所述曲线为大量均匀的采样值。 因此，乘法的数量减少一半的同时减少的点的数量。

运用傅立叶变换

该过程在各种领域中使用：在 数论， 物理，信号处理，组合，概率论，密码学，统计，海洋，光学，声学，和其他几何形状。 其利用丰富的可能性是基于多项实用功能，这被称为“傅立叶变换的性质。” 让我们来看看他们。

1.转换函数是线性算子和相应的归一化是一体的。 此属性称为的Parseval定理，或在一般情况下，该定理Plansherelja或庞特里亚金二元论。

2.转换是可逆的。 此外，相反的结果是形状如在直接寻址基本相似。

3.正弦基本表达式是自己的差异化功能。 这意味着，这样的表示改变 线性方程 常系数在传统的代数。

4.根据“卷积”定理，该过程使得在基本乘法一个复杂的操作。

5.离散傅立叶变换可以快速地设计成使用“快速”方法的计算机上。

傅立叶变换变化

1.最常见的术语被用来指代一个连续变换，提供任何平方可积的表达式作为复指数表达与特定的角频率和幅度的总和。 这个物种有几种不同的形式，这可能是不同的恒定系数。 的连续方法包括：转换表，它可以在数学手册中找到。 广义情况下是分数的转换，由此，该过程可以被升高到所需的实际功率。

2.连续方法为任何限定的傅立叶级数的在先技术的一般化 周期函数 或表达式，其存在在有限的区域和它们表示为一系列正弦曲线。

3.离散傅里叶变换。 该方法在计算用于科学计算和数字信号处理中使用。 为了执行这种类型的计算需要具有确定上一组离散的各个点的，周期性的或限定的区域，而不是连续傅立叶积分的函数。 在这种情况下信号转换被表示为正弦曲线的和。 使用“快速”的方法时，可以使用所有的实际目的数字化解决方案。

4.傅里叶变换的窗口是经典方法的广义视图。 不同于当使用信号频谱的标准解决方案，这是采取全范围这个变量存在的特别感兴趣的是这里只是在保持原有变量（时间）的本地频率分布。

5.二维傅立叶变换。 此方法用于与数据的二维阵列的工作。 在这样的情况下，转换是在一个方向上进行，然后 - 在其他。

结论

如今，傅立叶方法在科学的各个领域早已根深蒂固。 例如，在1962年它打开与X射线衍射使用结合傅立叶分析DNA双螺旋的形状。 最近晶体集中在DNA纤维中，导致记录在胶片是由衍射而获得的图像，英寸 此图通过使用傅里叶变换，以这种晶体结构给出了一个关于振幅的值的信息。 通过与在相似的化学结构的分析获得卡比较所述DNA衍射卡获得的相位数据。 其结果是，生物学家恢复晶体结构 - 原始功能。

傅立叶变换起到外层空间，半导体材料和等离子，微波声学，海洋，雷达，地震和体检的物理学研究中的巨大作用。